Логіка_5-6 клас_заняття_4-5

Заняття 4-5

Тема: Розв’язування задач методом припущення.

Є логічні задачі, які розв’язуються методом припущення. Серед них можна виділити задачі, у змісті яких є прості твердження, тобто ті, які містять тільки одну інформацію. Деякі з них-істинні, деякі-хибні. У процесі розв’язання припускається істинність чи хибність одного з тверджень задачі. Якщо припущення суперечить умові задачі, то воно хибне. У такому випадку треба робити припущення далі, доки не знайдеться один можливий варіант розв’язання задачі.

Взірець розв’язання задачі: Троє однокласників: Микита, Олег і Павло на перерві бігали коридорами. Один з них випадково розбив вітрину музею. Коли вчителька запитала хто це зробив, Микита зізнався: «Це я зробив». Олег сказав: «Це зробив не Павло». Пізніше з’ясувалося, що одне з тверджень було істинне, а інше –хибне. Хто ж з цих хлопців розбив вітрину музею?

Розв’язання: У змісті цієї задачі є два твердження: 1. Микита розбив вітрину. 2. Павло не розбивав вітрину.

За умовою одне з них істинне, а друге –хибне. Припустимо, що перше твердження істинне, а друге- хибне. Надпишемо над твердженнями це припущення. За цим припущенням і Микита, і Павло розбили вітрину, що суперечить умові задачі, бо це зробив тільки один із хлопців. Отже, припущення було хибне. Тепер припустимо, що хибним є перше твердження, а друге-істинним. Надпишімо тепер його над твердженнями. За цим припущенням і Микита, і Павло не розбивали вітрину. Інших варіантів припущення немає.

Микита розбив вітрину	+	-
Павло не розбивав вітрину	+	-

 Отже вітрину розбив Олег. (У таблиці знаком «+» позначається істинне твердження, а знаком«–» позначається хибне твердження.)

Задача 2. На осінні канікули друзям шестикласникам- Артему, Павлу та Юрію батьки купили квитки у різні театри: Драми і комедії, Юного глядача та в Оперний театр. Батьки заздалегідь розпитали своїх синів, який театр вони б хотіли відвідати. Хлопці відповіли так:

*Юрій: «Я хочу подивитися виставу в Оперному театрі».

*Павло: «У мене немає бажання відвідувати Оперний театр».

*Артем: «Я не хотів би йти до театру Драми і комедії».

Виявилося, що бажання тільки одного з хлопців батьки задовільнили. У якому саме театрі побував кожен з хлопчиків.

Розв’язання: 1.Припустимо, що здійснилося бажання Юрія. Тобто він відвідав Оперний театр. Павло не хотів туди йти, але повинен був піти, бо бажання його не здійснилося. Два хлопця в одному театрі – суперечить умові.

2. Припустимо, що здійснилося бажання Павла. Тоді він мав піти до театру Юного глядача або Драми та комедії. В цей час Артем не хотів йти до театру Драми і комедії, повинен був піти туди, бо його бажання не здійснилося. Павлу залишається лише театр Юного глядача, а Юрію- оперний театр, що було його бажанням. А це суперечить умові, бо батьки здійснюють лише бажання одного хлопця. 3. Припустимо бажання Артема здійснили батьки і він не пішов до театру Драми і комедії. Тоді він мав піти або в театр Юного глядача, або ж в Оперний. До Оперного театру піде Павло, бо його бажання не здійснюють батьки.

Висновок: Оперний театр відвідав Павло, театр Драми і комедії- Юрій, а Артем–Юного глядача.

 Серед логічних задач, які розв’язуються методом припущення, є група задач зі складними твердженнями, що містять дві або більше частин. Розглянемо задачі, що містять дві частини. Твердження можуть складатися з двох істинних, двох хибних або однієї істинної  та однієї хибної частин.

Задача 3. Четверо друзів Михайло, Леонід, Ігор, Ярослав купили в супермаркеті прохолоджувальні напої («Кока- Кола», «Спрайт», «Живчик», «Фанта») і прийшли з ними до свого друга Гліба. На запитання Гліба, хто які напої купив, хлопці дали такі відповіді:

-        «Михайло купував «Кока-Колу», а Леонід –«Фанту».

-        «Ярослав купував «Кока-Колу», а Михайло- «Спрайт».

-        «Ярослав купував «Живчик», а Ігор-«Фанту».

Допоможіть Глібу визначити хто з хлопців який напій купив ( кожен тільки один), якщо в кожній відповіді одна частина істинна, а друга – хибна.

Розв’язання: Припустимо, що в 1-му твердженні  перша частина- істинна, а друга – хибна. Надпишемо над  частинами твердження знак «+» і «–» відповідно. Тоді у 2-му твердженні обидні частини стають хибними, оскільки твердження, що Михайло купив «Кока-Колу» є істинним, то Ярослав не може купити той самий напій, а Михайло не може купити інший напій. За нашим припущенням маєм протиріччя з умовою задачі: у 2-му твердженні обидві частини хибні ( має бути одна хибна, а друга – істинна). Таким чином наше припущення виявилося хибним, і ми міркуватимемо інакше.

Нехай у 1-му твердженні перша частина буде хибною а друга- істинна.  Надпишемо над цими твердженнями знак «– » та «+» відповідно.  Тоді у 2-му твердженні перша частина може бути як істинною, так і хибною. Припустимо, що у 2-му твердженні перша частина буде істинною, а друга- хибною. Надпишемо над твердженнями відповідно знаки «+ » та «-». Тоді у 3-му твердженні дві частини стають хибними: Ярослав не міг купити «Живчик», якщо він купив «Кока-Колу», Ігор не міг купити «Фанту», бо цей напій купив Леонід. Отже припущення, яке ми зробили в 2-му твердженні виявилось хибним. Таким чином у 2-му твердженні перша частина є хибною,  а друга – істинною.

У 3-му твердженні перша частина є істинною, а друга- хибною.

Відповідь: Леонід купив «Фанту», Ярослав- «Живчик», Михайло –«Спрайт», а Ігор- «Кока-Колу». 

Задача 4. Аня, Валя, Галя і Даша посіли перші чотири місця, причому ніякі дві з них не поділили між собою які-небудь два місця. На запитання: «Яке місце посіла кожна з них?». Троє глядачів дали такі відповіді:

*1-й: «Аня посіла ІІ місце, Даша – ІІІ».

*2-й: «Аня – І місце, Даша- ІІ».

*3-й: «Галя – ІІ місце, Даша - ІV».

У кожній з цих відповідей одне висловлювання істинне, а друге- хибне. Яке місце посіла кожна учениця?

Розв’язання: Складемо таблицю, яку заповнимо за умовою задачі: 

Дівчата Глядачі	Аня	Валя	Галя	Даша
1-й	ІІ			ІІІ
2-й	І			ІІ
3-й			ІІ	ІV

Припустимо, що у відповіді 1-го глядача перша частина висловлення істинна, а друга- хибна. Тоді Аня посіла ІІ місце, а Даша не ІІІ ( І або ІV).

Тоді перше висловлення 2-го глядача не може бути істинним, оскільки в цьому випадку Аня повинна посісти І і ІІ місце одночасно. Отже, істинним повинно бути 2-ге висловлення: Даша посіла ІІ місце.

Але це неможливо, оскільки ІІ місце посіла Аня. Отже, ні перше, ні друге висловлення 2-го глядача не можуть бути істинними. Це суперечить умові задачі. Виходить, що припущення, ніби перше висловлення 1-го глядача – істинне, є хибним. Слід вважати істинним друге висловлення 1-го глядача: «Даша посіла ІІІ місце».

Оскільки Даша посіла  III місце, то друге  висловлення  2-го і  3- го  глядачів - хибні, а істинні- їх перші висловлення.

Відповідь: Маємо такий розподіл місць: І – Аня, ІІ –Галя, ІІІ – Даша, ІV- Валя.

Домашнє завдання:

Задача 1. На перерві у Наталі зник зошит з виконаним домашнім завданням. Дівчина знала, що забрати зошит могла одна з трьох однокласниць: Галина, Світлана чи Марія. Коли Наталя запитала своїх подруг, хто це зробив, дівчата відповіли:

*Галина: «Світлана не забирала зошит. Марія теж зошит не забирала».

*Марія: «Я думаю, що зошит забрала Галина, Світлана не могла цього зробити, бо після 1-го уроку вона пішла до лікаря у поліклініку».

*Світлана: «Вибач, Наталю. Марія не брала твій зошит. Це я його взяла без твого дозволу».

Потім з’ясувалося, що одна з дівчат двічі сказала правду, одна – двічі неправду, а одна була правдива тільки наполовину.  Визнач хто з дівчат взяв у Наталі зошит з математики.

 Задача 2.  Використовуючи закон виключення третього, доведи, що заперечення побудовано невірно.

№	Твердження	Заперечення
1.	Всі коти - сірі	Всі коти –не є сірими
2.	Деякі ягоди - солодкі	Деякі ягоди- не солодкі
3.	Є місяці, в яких 30 днів	Є місяці, в яких не 30 днів
4.	Кожного дня вранці йде дощ	Зранку ніколи не йде дощ

Задача 3. Антон, Борис, Вадим і Гоша брали участь у змаганні з бігу. Наступного дня вони заявили:

*Антон: «Я не був ні першим, ні останнім».

*Борис: «Я не був останнім».

*Вадим: «Я був першим».

*Гоша: «Я був останнім».

Відомо, що троє сказали правду, а один обманув. Хто був першим?

Задача 4. У змаганнях з бігу брали участь 3 спортсмени: Овдієнко, Василенко і Семенко. Олин глядач сказав, що першим прийде Овдієнко, другий- що Семенко не буде останнім, а третій- що Василенко не прийде першим. Після забігу виявилося, що один із глядачів правильно передбачив результат, а два інших помилилися.  Як закінчився забіг, коли відомо, що всі три бігуни показали різні результати?